【高等数学笔记】实数、变量与函数
实数由有理数和无理数组成，记作 \(\mathbb{R}\)。有理数包括整数和分数，能表示为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。实数域是一个有序完备数域，数轴可以形象表示实数及区间。
函数是变量间的一一对应关系，映射是更一般的对应。常见函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数等；它们通过复合运算和四则运算构成初等函数。此外，还有双曲函数、取整函数、狄利克雷函数等特殊函数。
【高中数学笔记】两个重要极限的证明
本文为 【高中数学笔记】导数基础 的一个补充。
在高中内容中，有两个重要的极限：1. \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x}{x}=1\)；2. \(\displaystyle \lim _{x \rightarrow \infty}(1+\frac{1}{x})^x = e\). 下面用夹逼定理证明这两个极限的存在性。
【高中数学笔记】导数基础
导数是微积分中的一个核心概念，它用来刻画函数在某一点处的变化率。简单来说，导数描述了“函数值随自变量变化的快慢”。例如，在物理中，位置对时间的导数就是速度，速度对时间的导数则是加速度。
从几何意义上看，函数在某点的导数就是该点切线的斜率。如果把函数曲线放大到无限接近，该曲线在这一点附近就会越来越像一条直线，而这条直线的斜率就是导数。
【高中数学笔记】排列组合与二项式定理基础
在初等数学中，排列组合是研究从若干元素中按照一定规则选择或排列的方法。
排列：从 \(n\) 个不同元素中，按照一定的顺序选取 \(r\) 个元素的不同排列方式数目，记为 \(P_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}\)
若选取全部元素（即 \(r = n\)），则为 \(n!\)。
组合：从 \(n\) 个不同元素中，不考虑顺序地选取 \(r\) 个元素的方式数目，记为 \(C_n^r=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
排列与组合是概率论、统计学和算法设计等领域的重要工具。
二项式定理描述了二项式 \((a+b)^n\) 的展开形式：\((a+b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k\). 其中 \(C_n^k\) 表示在展开过程中选择 \(k\) 次 \(b\) 的方式数。
例如：\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
二项式定理将代数与组合论紧密结合：组合数既是展开系数，也是从“选择”角度自然推导出来的结果。
【高中数学笔记】概率论基础
概率论是研究随机现象的学科， 它为我们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时 为统计学的发展提供了理论基础概率论的研究目的是研究随机事件的概率，寻求随机变量的规律。 统计学是用科学方法收集、整理、描述和分析所得数据资料，并由此进行推断或决策的学科本章所要学习的主要内容就是如何收集数据， 根据所获得的数据提取有用的信息，作出合理的决策。
【高中数学笔记】均值不等式的证明方法
本文为 【高中数学笔记】不等式基础 的一个补充。
设 \(a_1,a_2,...,a_n\) 是 \(n\) 个正实数，其平方平均 \(Q_n=\sqrt{\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{n}}\)，算术平均 \(A_n=\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\)，几何平均 \(G_n=\sqrt[n]{a_1a_2...a_n}\)，调和平均 \(H_n=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}}\)。由均值不等式可知： \[ \min\{a_1,a_2,...,a_n\} \leq H_n \leq G_n \leq A_n \leq Q_n \leq \max\{a_1,a_2,...,a_n\} \] 当且仅当 \(a_1=a_2=...a_n\) 时等号成立。
均值不等式的证明方法有很多，数学归纳法、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以证明均值不等式。
【高中数学笔记】不等式基础
不等式是数学中表示两个数量之间大小关系的式子。它与方程类似，但用不等号来表示不相等的情况。不等式的解通常不是单个数，而是一个数集。
在高中数学里，我们将学习一元二次不等式、分式不等式、高词不等式、无理不等式、绝对值不等式、均值不等式和柯西不等式。
【Hexo】博客新增的若干功能
前情提要：使用 Hexo 搭建个人博客
在网站正式上线之后，我们根据用户的反馈与自身的优化计划，又陆续增加了一些新功能。在这里，我会逐一为大家介绍这些功能的安装方法和使用说明，方便有需要的朋友进行参考和操作。需要说明的是，这些新增功能大多属于页面美化或体验优化的类型，能够让网站在视觉效果、交互体验以及操作便捷性上有所提升。
新增加的功能：1. 使用 Github 作为图床；2. 阅读全文功能；3. 博客页面圆角化；4. Canvas-Nest 背景动画。
如果你追求更高的美观度、更流畅的交互体验，或者希望网站在细节上更加人性化，可以尝试安装并使用这些功能；但如果你对现有的使用体验已经满意，也可以选择不安装，不会影响网站的核心使用。
【初中数学笔记】因式分解：从入门到入土
因式分解指的是把一个整式分解成多个整式的乘积的过程。在因式分解中，通常要求各个因式的乘积都是既约多项式，即在规定数集内无法继续因式分解。
在初中数学中，因式分解作为数学学习的重点之一，其考察形式灵活多变，有诸多技巧。从提取公因式到待定系数法属于基础技巧，轮换对称式到既约多项式属于高级技巧。
【高中数学笔记】集合与命题基础
集合
集合的概念
我们把能够确切指定的不同对象组成的整体叫做集合，简称集。集合中的各个对象叫做这个集合的元素。
集合的性质包括确定性、互异性与无序性。也就是说，对于一个给定的集合，其中的元素是确定的，也是各不相同的，而且各元素地位相等，与顺序无关。
我们将全体自然数组成的集合称为自然数集，记作 \(\mathbb{N}\)，整数集为 \(\mathbb{Z}\)，有理数集为 \(\mathbb{Q}\)，实数集为 \(\mathbb{R}\).
不包括任何元素的集合称为空集，记作 \(\varnothing\).
描述集合的方法有列举法和描述法。列举法把集合中的元素一一列举出来，描述法在大括号内先写出此集合中元素的一般形式，再划一条竖线，写出集合中的元素的公共性质，即 \(A=\{x|x满足性质P\}\).
若 \(a\) 是集合 \(A\) 的元素，则称 \(a\) 属于 \(A\)，记作 \(a \in A\)，反之 \(a \notin A\).