【高中数学笔记】集合与命题基础
集合
集合的概念
我们把能够确切指定的不同对象组成的整体叫做集合，简称集。集合中的各个对象叫做这个集合的元素。
集合的性质包括确定性、互异性与无序性。也就是说，对于一个给定的集合，其中的元素是确定的，也是各不相同的，而且各元素地位相等，与顺序无关。
我们将全体自然数组成的集合称为自然数集，记作 \(\mathbb{N}\)，整数集为 \(\mathbb{Z}\)，有理数集为 \(\mathbb{Q}\)，实数集为 \(\mathbb{R}\).
不包括任何元素的集合称为空集，记作 \(\varnothing\).
描述集合的方法有列举法和描述法。列举法把集合中的元素一一列举出来，描述法在大括号内先写出此集合中元素的一般形式，再划一条竖线，写出集合中的元素的公共性质，即 \(A=\{x|x满足性质P\}\).
若 \(a\) 是集合 \(A\) 的元素，则称 \(a\) 属于 \(A\)，记作 \(a \in A\)，反之 \(a \notin A\).
集合的关系
若 \(\forall a \in A\)，都有 \(a \in B\)，则称集合 \(A\) 是集合 \(B\) 的子集，记作 \(A \subseteq B\)，若 \(\exists b \in B\) 且 \(b \notin A\)，则 \(A \subset B\)。若 \(A \subseteq B\) 且 \(B \subseteq A\)，则 \(A = B\).
对于一个含有 \(n\) 个元素的集合，其有 \(2^n\) 个子集，有 \(2^n-1\) 个真子集，有 \(2^n-2\) 个非空真子集。
集合的运算
- 交集：\(A \cap B = \{x|x\in A 且 x \in B\}\)，其重要性质有 \(A \cap B = A \Leftrightarrow A \subseteq B\).
- 并集：\(A \cup B = \{x|x \in A 或 x \in B\}\)，其重要性质有 \(A \cup B = A \Leftrightarrow B \subseteq A\).
- 补集：\(\complement_U A=\{x|x\in U 且 x \notin A\}\)，其重要性质有 \((\complement_UA) \cup A = U,(\complement_U A) \cap A = \varnothing\).
德摩根定律
\(\complement_U(A\cap B)=(\complement_U A) \cup (\complement_U B)\) , \(\complement_U(A \cup B)=(\complement_U A) \cap (\complement_U B)\)
容斥原理
在计数时，为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再 把计数时重复计算的数目减去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。
如 \(n(A\cup B) = n(A)+n(B)-n(A\cap B)\).
命题
命题的概念
可以判断真假的语句称为命题，命题通常用陈述句表示。正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。一般地，命题是由题设（条件）和结论两部分组成的。题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。
一般地，如果命题 \(\alpha\) 成立可以推出事件 \(\beta\) 成立，那么就说 \(\alpha\) 可以推出 \(\beta\)，记作 \(\alpha \Rightarrow \beta\)，反之 \(\alpha \nRightarrow \beta\). 如果 \(\alpha \Rightarrow \beta\) 且 \(\beta \Rightarrow \alpha\)，则 \(\alpha \Leftrightarrow \beta\).
四种命题形式
原命题：原命题为若 \(p\) 则 \(q\)。
逆命题：一个命题由条件和结论两部分组成，如果把原命题的条件和结论互换，所得的命题是原命题的逆命题。逆命题为若 \(q\) 则 \(p\)。
否命题：如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定与结论的否定，则称这两个命题为互否命题， 其中一个命题是另一个命题的否命题。否命题为若 \(\neg p\) 则 \(\neg q\)。
逆否命题：如果将一个命题的结论的否定作为条件，而将此命题的条件的否定作为结论所得到的命题叫做原命题的逆否命题。原命题与其逆否命题等价。逆否命题为若 \(\neg q\) 则 \(\neg p\)。
充分条件，必要条件
如果 \(\alpha \Rightarrow \beta\)，则 \(\alpha\) 是 \(\beta\) 的充分条件,\(\beta\) 是 \(a\) 的必要条件。如果 \(\alpha \Leftrightarrow \beta\)，则 \(\alpha\) 和 \(\beta\) 互为充要条件。
设 \(A = \{x|x具有性质 \alpha\},B = \{x|x具有性质 \beta\}\)，则 \(A \subseteq B\) 是 \(\alpha \Rightarrow \beta\) 的充要条件。