【高中数学笔记】排列组合与二项式定理基础
在初等数学中，排列组合是研究从若干元素中按照一定规则选择或排列的方法。
排列：从 \(n\) 个不同元素中，按照一定的顺序选取 \(r\) 个元素的不同排列方式数目，记为 \(P_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}\)
若选取全部元素（即 \(r = n\)），则为 \(n!\)。
组合：从 \(n\) 个不同元素中，不考虑顺序地选取 \(r\) 个元素的方式数目，记为 \(C_n^r=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
排列与组合是概率论、统计学和算法设计等领域的重要工具。
二项式定理描述了二项式 \((a+b)^n\) 的展开形式：\((a+b)^n = \displaystyle \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k\). 其中 \(C_n^k\) 表示在展开过程中选择 \(k\) 次 \(b\) 的方式数。
例如：\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)
二项式定理将代数与组合论紧密结合：组合数既是展开系数，也是从“选择”角度自然推导出来的结果。
乘法原理与加法原理
乘法原理：如果完成一件事需要 \(n\) 个步骤，第 \(i\) 步有 \(m_i\) 种不同的方法，那么完成这件事一共有 \(N=\displaystyle\prod _{i=1}^n m_i\) 种不同的方法。
加法原理：如果完成一件事有 \(n\) 类办法，第 \(i\) 类办法中有 \(m_i\) 种不同的方法，那么完成这件事一共有 \(N=\displaystyle\sum_{i=1}^n m_i\) 种不同的方法。
排列与组合
排列：从 \(n\) 个不同元素中，按照一定的顺序选取 \(r\) 个元素的不同排列方式数目，记为 \(P_n^r=\frac{n!}{(n-r)!}\)
若选取全部元素（即 \(r = n\)），称为 \(n\) 个元素的全排列，其排列数也称为 \(n\) 的阶乘，记作 \(n!\)。
组合：从 \(n\) 个不同元素中，不考虑顺序地选取 \(r\) 个元素的方式数目，记为 \(C_n^r=\frac{n!}{(n-r)!r!}\)
组合数有以下三个性质：1. \(C_n^m=C_n^{n-m}\)；2. \(C_{n+1}^m=C_n^m+C_n^{m-1}\)；3. \(kC_{n}^k=nC_{n-1}^{k-1}\).
性质 \(1,2\) 较为显然，以下是对性质 \(3\) 的证明： \[ kC_n^k=k·\frac{n!}{k!(n-k)!}=n·\frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!}=nC_{n-1}^{k-1} \]
二项式定理及其性质
一般地，对于任意 \(n \in \mathbb{N}^*\)，二项式 \((a+b)^n\) 的展开形式：\((a+b)^n = \displaystyle \sum_{r=0}^{n} C_n^r a^{n-r} b^r\). 其中 \(C_n^r\) 表示在展开过程中选择 \(k\) 次 \(b\) 的方式数。式中 \(C_n^ra^{n-r}b_r\) 称为二项展开式的通项，由于其为第 \(r+1\) 项，因此记作 \(T_{r+1}\).
二项式定理的系数有如下性质：
- \((a+b)^n\) 的二项展开式中，与首末两端 “等距离” 的两项的二项式系数相等。
- \((a+b)^n\) 的二项展开式中，所有二项式系数之和等于 \(2^n\)。
- \((a+b)^n\) 的二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和。这一性质在 \((a+b)^n\) 的展开式中，用 \(a=1,b=-1\) 代入即可。
- \((a+b)^n\) 的二项展开式中，当 \(n\) 为偶数时，\(C_n^{\frac{n}{2}}\) 取到二项式系数最大值；当 \(n\) 为奇数时，\(C_n^{\frac{n-1}{2}}\) 与 \(C_n^{\frac{n+1}{2}}\) 同时取到最大值。