【高中数学笔记】导数基础

发表于 2025-08-30 更新于 2025-09-04 分类于初等数学本文字数： 1.6k 阅读时长 ≈ 6 分钟

导数是微积分中的一个核心概念，它用来刻画函数在某一点处的变化率。简单来说，导数描述了“函数值随自变量变化的快慢”。例如，在物理中，位置对时间的导数就是速度，速度对时间的导数则是加速度。

从几何意义上看，函数在某点的导数就是该点切线的斜率。如果把函数曲线放大到无限接近，该曲线在这一点附近就会越来越像一条直线，而这条直线的斜率就是导数。

函数的极限

极限是微积分的基础概念，它用来描述一个变量无限接近某个值时，函数的趋势。

自变量趋近无穷的极限

\(x \rightarrow + \infty\) 时的极限的定义：存在 \(M>0\)，满足 \(f(x)\) 在 \(x>M\) 时有定义，当 \(x\) 不断增大时，\(f(x)\) 的值无限趋近常数 \(A\)，则称 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow + \infty} f(x) = A\).

类似地，\(x \rightarrow - \infty\) 时的极限的定义：存在 \(M>0\)，满足 \(f(x)\) 在 \(x<-M\) 时有定义，当 \(x\) 不断增大时，\(f(x)\) 的值无限趋近常数 \(A\)，则称 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow - \infty} f(x) = A\).

\(x \rightarrow \infty\) 时的极限的定义：存在 \(M>0\)，满足 \(f(x)\) 在 \(|x|>M\) 时有定义，当 \(|x|\) 不断增大时，\(f(x)\) 的值无限趋近常数 \(A\)，则称 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow \infty} f(x) = A\).

由定义可以看出，\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty}=A\) 的充要条件为 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)=A\).

自变量趋向一点的极限

设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某一去心邻域 \(U^\circ (x_0,\delta)\) 内有定义，对 \(\forall \varepsilon > 0\)，总存在 \(\delta >0\)，当 \(0<|x-x_0|<\delta\) 时，有 \(|f(x)-A| < \varepsilon\) 恒成立，则称 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=A\).

如果只考虑 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某个右半邻域 \((x_0,x_0+\delta)\)（或左半邻域 \((x_0-\delta,x_0)\)），对 \(\forall \varepsilon > 0\)，总存在 \(\delta >0\)，当 \(0<x-x_0<\delta\)（或 \(0<x_0-x<\delta\)）时，有 \(|f(x)-\varepsilon| <A\) 恒成立，则称 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x)=A\)（或 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0^-} f(x)=A\)）。分别称为函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的右极限和左极限。

由定义可知，\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} f(x)=A\) 的充要条件为 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0^+} f(x)=\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x)= A\).

极限的性质

若 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) =A,\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=B\)，则 \(A=B\).
若 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) =A\)，则存在某一去心邻域 \(U^\circ (x_0,\delta)\) 和 \(M>0\)，使 \(\forall x \in U^\circ(x_0,\delta)\)，有 \(|f(x)|\leq M\).
若 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) =A\)，且 \(A>0\)，则存在某一去心邻域 \(U^\circ (x_0,\delta)\)，使得 \(\forall x \in U^\circ(x_0,\delta)\)，有 \(f(x)>0\)，\(A<0\) 时亦同理。
函数的极限满足四则运算法则，前提是数列的极限存在。

此外，若 \(n \in \mathbb{N}\)，则 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} (f(x))^n =(\lim_{x \rightarrow x_0}f(x))^n=A^n\).
设函数 \(f(\varphi(x))\) 是 \(y=f(u)\)，\(u=\varphi(x)\) 复合而成的，如果 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} \varphi(x) = u_0\)，且在 \(x_0\) 的一个去心邻域内 \(\varphi(x) \ne u_0\)，又 \(\displaystyle \lim_{u \rightarrow u_0}f(u)=A\)，则 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0}f(\varphi(x))=A\).

夹逼定理

设函数 \(f(x),g(x),h(x)\) 在去心邻域 \(U^\circ(x_0,\delta)\) 内有定义，且对于 \(\forall x \in U^\circ(x,\delta)\) 满足 \(f(x)\le g(x) \le h(x)\)，又 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0}f(x)=\lim_{x \rightarrow x_0}h(x)=A\)，则有 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} g(x)=A\).

两个重要极限

\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0}\frac{\sin x}{x}=1\).
\(\displaystyle\lim_{x \rightarrow \infty} (1+\frac{1}{x})^x = e\).

函数的连续性

连续性的定义

函数连续性的定义：设函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 的某一邻域 \(U(x_0,\delta)\) 内有定义，且满足 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0} f(x) = f(x_0)\)，则称 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处连续。

函数连续的充要条件为 \(\displaystyle\lim_{x \rightarrow x_0^+}f(x)=\lim_{x \rightarrow x_0^-}f(x)=f(x_0)\).

若函数在它的定义域内每一点都连续，则称 \(f(x)\) 为连续函数。

连续性的性质

若 \(f(x),g(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，则 \(f(x)\pm g(x)\),\(f(x)\times g(x)\),\(\frac{f(x)}{g(x)}\) 都在 \(x_0\) 处连续。
若 \(u=\varphi(x)\) 在 \(x_0\) 处连续，设 \(u_0 = \varphi(x_0)\)，\(y=f(u)\) 在 \(u_0\) 处连续，则 \(f(\varphi(x))\) 在 \(x_0\) 处连续。

闭区间连续函数的性质

若 \(f(x)\) 在闭区间 \([a,b]\) 上连续，则：

\(f(x)\) 可以在 \([a,b]\) 上取到最大值和最小值。
若 \(f(a)·f(b) < 0\)，则 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 内至少有一点满足 \(f(x)=0\).
\(f(x)\) 可以取到介于 \([a,b]\) 上的最大值与最小值之间的任意一个数。

导数概念与运算

导数的定义

设 \(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 附近有定义，当自变量 \(x=x_0\) 有改变量 \(\Delta x\) 时，相应有 \(\Delta y=f(x+\Delta x) -f(x)\). 当 \(\Delta x \rightarrow 0\) 时，若 \(\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\) 存在，则函数 \(f(x)\) 在 \(x_0\) 处可导，记作 \(f'(x)=\displaystyle \lim_{x \rightarrow x_0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\).

导数存在定理：\(y=f(x)\) 在 \(x_0\) 处的导数存在的充要条件是其左、右导数存在且其值相等。

从几何的角度来看，差商 \(\frac{\Delta y}{\Delta x}\) 即为曲线 \(y=f(x)\) 割线的斜率，而 \(\displaystyle \lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}\) 即为这条割线的极限位置（切线）的斜率。

重要的求导法则

重要的求导法则包括四则运算法则、复合函数的求导法则和反函数求导法则。

\([u(x)\pm v(x)]'=u'(x) \pm v'(x)\)
\([u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)\)
\([\frac{u(x)}{v(x)}]'=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v^2(x)}\)
\(f(\varphi(x))=f'(u)\varphi'(x)\)
若 \(y=f(x)\) 与 \(x=\varphi(y)\) 互为反函数，\(y=f(x)\) 在 \(x\) 处连续，\(x=\varphi(y)\) 在 \(x\) 的导数不为 \(0\)，则 \(f'(x)=\frac{1}{\varphi'(y)}\)

常见函数的导数

\((x^n)'=nx^{n-1}\)
\((e^x)'=e^x\)
\((a^x)'=a^x\ln a\)，推导：\((a^x)'=\)\((e^{\ln ax})'=\)\(e^{\ln ax}\ln a=\)\(a^x\ln a\).
\((\ln x)' = \frac{1}{x}\)
\((\log_ax)'=\frac{1}{x}\log_ae\)，推导：\((\log_ax)'=\)\((\frac{\ln x}{\ln a})'=\)\(\frac{1}{\ln a} · \frac{1}{x}=\)\(\frac{1}{x}\log_ae\).
\((\sin x)'=\cos x\)，\((\cos x)'=-\sin x\)
\((\arcsin x)' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，\((\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\)，\((\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}\)