【高等数学笔记】实数、变量与函数
实数由有理数和无理数组成，记作 \(\mathbb{R}\)。有理数包括整数和分数，能表示为有限小数或无限循环小数；无理数是无限不循环小数。实数域是一个有序完备数域，数轴可以形象表示实数及区间。
函数是变量间的一一对应关系，映射是更一般的对应。常见函数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数及其反函数等；它们通过复合运算和四则运算构成初等函数。此外，还有双曲函数、取整函数、狄利克雷函数等特殊函数。
实数
有理数与无理数
自然数：\(1,2,3,...\)，自然数集用 \(\mathbb{N}\) 表示，整数集用 \(\mathbb{Z}\) 表示，有理数集用 \(\mathbb{Q}\) 表示，即 \[ \mathbb{Q}=\{\frac{m}{n}|m,n \in \mathbb{Z},n>0,(m,n)=1\} \] 有理数集内的数作四则运算后仍在有理数集内。粗略地说，对四则运算封闭的数集合称为数域，有理数集 \(\mathbb{Q}\) 就是一个数域。
有理数可以表示为有穷小数或无限循环小数，而无理数则为无限不循环小数。有理数和无理数统称为实数，实数集记作 \(\mathbb{R}\).
实数集的性质
实数集具有以下性质：
- 是一个数域；
- 对加法和乘法满足交换律、结合律与分配律；
- 是一个有序数域，也就是说，对于 \(\forall a,b \in \mathbb{R}\) 且 \(a \ne b\)，\(a<b\) 与 \(b<a\) 有且仅有一种情况成立；
- 实数域对极限运算是封闭的，称为完备性，有时也称为连续性；
- 由第 \(4\) 条性质可以看出，实数域内，任意一个单调有界序列一定有极限存在；
数轴与区间
在一条直线上规定原点 \(O\)，正方向与单位长度。我们就得到一个数轴。实数集 \(\mathbb{R}\) 与数轴上的点是一一对应的。实数集的有序性正反映了数轴上点的有序性。
给定两个实数 \(a,b(a<b)\)，把集合 \(\{x|a \le x \le b\}\) 称为闭区间，记作 \([a,b]\)；把 \(\{x|a < x < b\}\) 称为开区间，记作 \((a,b)\). 类似地，也有半开半闭区间，为 \([a,b)\) 或 \((a,b]\). 有时 \(\mathbb{R}\) 可以表示成无穷区间 \((-\infty,+\infty)\)，此外 \([a,+\infty)\)，\((-\infty,b]\) 等也可称作无穷区间，以上统称为区间。
开区间与闭区间的长度为 \(b-a\)，半径为 \(\frac{b-a}{2}\).
对于任意区间 \((a,b)\)，无论其长度多么小，其间总有有理数和无理数。具有此种性质的数集合称作在数轴上处处稠密的。
设 \((a,b)\) 为任意一个开区间，\(a,b \in \mathbb{Q}\)，则 \(\frac{a+b}{2}\) 为有理数且 \(a<\frac{a+b}{2}<b\)，因此有理数在数轴上处处稠密。
设 \((a,b)\) 为任意一个开区间，\(a,b \in \mathbb{R}\)，则 \(a+\frac{b-a}{\sqrt{2}}\) 为无理数且 \(a<a+\frac{b-a}{\sqrt{2}}<b\)，因此无理数在数轴上处处稠密。
绝对值
对于 \(x \in \mathbb{R}\)，其绝对值记作 \(|x|\)，它的定义为 \[ |x|=\begin{cases}x(x\ge 0)\\-x(x<0) \end{cases} \]
几何上，绝对值反映了 \(x\) 在数轴上的点到原点的距离。
绝对值有以下性质：
- \(|x| \ge 0\)；
- \(||x|-|y|| \le |x+y| \le |x|+|y|\)；
- \(|a-c| \le |a-b| + |b-c|\)，其几何意义是：数轴上 \(c\) 到 \(a\) 的距离之和小于等于 \(b\) 到 \(a,c\) 的距离之和。
对于形如 \(|x-a|<r\) 的不等式，点 \(x\) 必然落入以 \(a\) 为中心，半径为 \(r\) 的区间 \((a-r,a+r)\) 内，我们将区间称为点 \(a\) 的 \(r\) 邻域，记作 \(U(a,r)\)，将 \(U^\circ(a,r)\) 称为点 \(a\) 的空心 \(r\) 邻域，简称空心邻域（或去心邻域）。
变量与函数
函数的定义
不断变化着的量称为变量，变量间的依赖关系称为函数。
函数的确切定义：设 \(x\) 与 \(y\) 是两个变量，分别在实数集合 \(X\) 和 \(Y\) 中取值，假如有一种对应关系 \(f\)，使得对于 \(\forall x \in X\)，都能找到唯一确定的 \(y \in Y\) 与其对应，则我们称 \(f\) 是一个函数，记作 \(f:X \rightarrow Y\)，也记作 \(y=f(x),x\in X\)，其中 \(X\) 为函数的定义域，\(x\) 是自变量，\(y\) 是因变量，\(y\) 是 \(x\) 的函数。
用几个表达式给出的函数称为分段函数。
我们可以将序列 \(\{a_n\}\) 看作是定义在正整数集 \(N^*\) 上的一个函数。
映射
对于集合 \(E,F\)，如果存在某种对应关系 \(f\)，使得 \(\forall x \in E\) 都有唯一确定的 \(y \in F\) 与其对应，则称 \(f:E \rightarrow F\) 是集合 \(E\) 与 \(F\) 的一个映射。\(y\) 称为像点，全体像点的集合称为 \(E\) 的像集合 \(f(E)\)，显然 \(f(E)\subset F\).
若 \(f(E)=F\)，则称这个映射为满射。若对于 \(\forall x_1,x_2 \in E,x_1 \neq x_2 \Rightarrow f(x_1) \neq f(x_2)\)，则称 \(f\) 为单射。
若映射既是满射又是单射，则称为一一映射。此时对于 \(\forall y \in F\)，都有唯一确定的 \(x\) 与其对应，此时存在 \(f\) 的逆映射 \(f^{-1}:F \rightarrow E\).
基本初等函数
基本初等函数一共有六类：
- 常数函数：\(y=c\)，其定义域为 \(\mathbb{R}\).
- 幂函数：\(y=x^\alpha(\alpha \ne 0)\)，当 \(\alpha\) 为正整数时，\(x\in \mathbb{R}\)，当 \(\alpha\) 为负整数时，\(x\in \mathbb{R}\backslash\{0\}\).
- 指数函数：\(y=a^x(a>0,a\ne 1)\)，\(x\in\mathbb{R}\).
- 对数函数：\(y=\log_ax(a>0,a\ne1)\)，\(x\in(0,+\infty)\).
- 三角函数：\(y=\sin x\), \(y=\cos x\), \(y=\tan x\), \(y=\cot x\), \(y=\sec x\), \(y=\csc x\).
- 反三角函数：如 \(y=\arcsin x\), \(y=\arccos x\), \(y=\arctan x\)，它们是三角函数的反函数。
复合函数
设两个函数 \(f:X\rightarrow Y,g:Y^*\rightarrow Z\)，假定 \(f(X)\subset Y^*\)，这时对于 \(\forall x \in X\)，都有唯一确定的数 \(y=f(x)\in Y\)与之对应，由于 \(y \in Y^*\)，则有有唯一确定的数 \(z=g(y)\in Z\) 与其对应，则这个从 \(x\) 到 \(z\) 的对应称为 \(f\) 与 \(g\) 的复合函数，记作 \(z=g(f(x))\) 或 \(g\circ f(x)\).
由有限个基本初等函数经过有限次四则运算及复合运算所得到的函数称为初等函数。
其它重要函数
- 我们将函数 \(\displaystyle y={\rm sh}x=\frac{e^x-e^{-x}}{2},y={\rm ch}x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\) 分别称为双曲正弦函数和双曲余弦函数。
- 函数 \(y = [x]\) 用于表示不超过 \(x\) 的最大整数。在数学文献中把 \(y=x-[x]\) 记作 \(y=\{x\}\)，用于表示 \(x\) 的小数部分。
- 狄利克雷函数：\(D(x)=\begin{cases}0(x \in \mathbb{R} 且 x \notin \mathbb{Q} )\\1(x \in \mathbb{Q})\end{cases}\)
有界函数
如果 \(\exists M \in \mathbb{R}\)，使得对于 \(\forall x \in X\)，\(f(x)\leq M\)，则称 \(M\) 是 \(f\) 的一个上界。相似地，如果 \(\exists N \in \mathbb{R}\)，使得对于 \(\forall x \in X\)，\(f(x)\geq N\)，则称 \(N\) 是 \(f\) 的一个下界。既有上界又有下界的函数称为有界函数。
函数 \(f:X \rightarrow Y\) 为有界函数的充要条件是，存在一个实数 \(C\)，使得对于 \(\forall x \in X\)，\(|f(x)| \le C\).